Он покончил жизнь самоубийством, выстрелив себе в грудь. Аргуэльо, в конце 70-х - начале 80-х годов считавшийся одним из лучших боксеров мира, страдал от алкоголизма, депрессии, а также употреблял наркотики. Ему было 57 лет.
Из подробностей смерти Аргуэльо известно лишь то, что он застрелился в своем доме в Манагуа. Многие из тех, кто знал никарагуанца, заявили, что не могут поверить в его смерть. Один из самых популярных боксеров в истории - Оскар Де Ла Хойя - признался, что Аргуэльо был его кумиром. Под словами Де Ла Хойи могли бы подписаться сотни тысяч болельщиков Аргуэльо, видевших его на ринге.
Всего на профессиональном ринге Аргуэльо провел 90 боев, одержал 82 победы (65 - нокаутом) и потерпел восемь поражений. Журнал Ring включил никарагуанца в список 100 лучших нокаутеров в истории, поставив его на 20-е место. Болельщики дали Аргуэльо прозвище El flaco explosivo, что при жизни боксера можно было бы перевести как "взрывной доходяга". Большинство соперников Алексиса запомнили нокаутирующие удары, которые он мог нанести с любой руки и в любой момент.
В 2004 году Аргуэльо стал вице-мэром Манагуа, а в ноябре 2008 года выиграл выборы мэра столицы страны. Спортивный мир в последний раз увидел Аргуэльо на церемонии открытия Олимпиады-2008, где бывший боксер нес флаг Никарагуа.
Однако признание и успешная политическая карьера не помогли Аргуэльо в борьбе с наркотиками, алкоголем и депрессией. 1 июля около 01:00 по местному времени чемпион мира по боксу признал поражение в этой борьбе, выстрелив себе в грудь.